Решение заданий по математике
Решение заданий по математике, подготовка к ЕГЭ
Задание 1
Решите уравнение:
1/cos2x + 3tgx - 5 = 0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-π; π/2].
Решение:
1) Запишем уравнение иначе:
(tg2x+1)+ 3tgx - 5 = 0;
tg2x + 3tgx - 4 = 0;
tgx = 1 или tgx = -4.
Следовательно, x=π/4 + πk или x = -arctg4 + πk. Отрезку [-π; π/2] принадлежат корни -3π/4, -arctg4, π/4.
Ответ: -3π/4, -arctg4, π/4.
Задание 2
Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, сторона основания которой равна 2, диагональ боковой грани . Найти угол между плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы.
Решение:
Обозначим середину ребра BC буквой H. Отрезки AH и A1H перпендикулярны BC, так как треугольник ABC - равносторонний, а A1BC - равнобедренный. Следовательно, угол A1HA - линейный угол двугранного угла с гранями BCA и BCA1.
Рассмотрим треугольник A1AB: по теореме Пифагора найдем AA1=1.
Рассмотрим треугольник AHB: по теореме Пифагора найдем AH=.
Из треугольника HAA1 находим:
Отсюда находим: угол A1HA=30o.
Ответ. 30о.
Задание 3
Решите неравенство:
Решение:
Преобразуем неравенство:
Найдем, при каких значениях х левая часть имеет смысл:
Получаем: или
Значит, при всех допустимых значениях x. Поэтому,
Сделаем замену . Получаем:
Таким образом,
откуда
Решив полученное квадратное уравнение, найдем корни: -6 и -1. Условию или удовлетворяет только x=-1.
Ответ. -1.
Задание 4
Дан угол ABC, равный 30о. На его стороне BA взята точка D такая, что AD=2 и BD=1. Найти радиус окружности, касающейся прямой BC и проходящей через точки A, D
Решение:
Центр О искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AD. Обозначим буквой p середину AD, буквой Q - основание перпендикуляра, опущенного на прямую BC из точки O, буквой E - точку пересечения прямой BC и серединного перпендикуляра. Отрезки OA, OD, OQ равны радиусу R окружности.
Заметим, что точка O не может лежать по ту же сторону от прямой AB, что и точка E, так как в этом случае расстояние от точки O до прямой BC меньше, чем расстояние от нее до точки A.
Из прямоугольного треугольника BpE с катетом Bp=2 и углом B=30o находим, что
Так как OA=R и Ap=1, получим:
и, следовательно,
Из прямоугольного треугольника OQE, в котором угол E=60o, находим:
Таким образом, получаем следующее уравнение для R:
Данное уравнение легко приводится к квадратному возведением в квадрат левой и правой частей и приведением подобных членов.
Решив данное уравнение, получим R1=1, R2=7.
Ответ. 1 или 7.
Задание 5
Найти все значения параметра при которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
Решение:
Запишем уравнение в следующем виде:
.
Функция непрерывна и
1) неограниченно возрастает , так как при любом раскрытии модулей будем иметь:
где
2) убывает, так как при любом раскрытии модулей будем иметь:
где .
Следовательно, свое наименьшее значения функция примет, а уравнение имеет корень тогда и только тогда, когда
Решим это неравенство:
Ответ. .
Задание 6
Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа, делящихся на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9?
Решение:
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммами его цифр, стоящих на нечётных и на чётных местах, делится на 11. Запишем все цифры подряд:9876543210. В написанном числе указанная разность сумм равна 5.
Меняя местами, например, 5 и 8, мы одну сумму увеличиваем на 3, а другую уменьшаем на 3. Значит, разность между суммами его цифр, стоящих на четных и на нечетных местах, становится равной 11. Меняя местами, например, 4 и 7, или 3 и 6, получаем требуемые примеры.
Примечание: В задаче требуется нахождение всех чисел, обладающих указанным свойством.