Олимпиадные задания по математике 10 класс




Олимпиадные задания по математике 10 класс.

Олимпиада по математике 10 класс


Олимпиадные    задания   по   математике.         10   класс.


1.

Назовем "соросовским произведением" двух различных чисел, a и b, число a + b + ab.
Можно ли, исходя из чисел 1 и 4, после многократного применения этой операции к уже полученным произведениям получить:
а) число 1999;
б) число 2000?



2.

На валютной бирже продаются динары (D), гульдены (G), реалы (R) и талеры (T).
Биржевые игроки имеют право совершать сделку купли-продажи с каждой парой валют не более одного раза в день.
Курсы обмена следующие: D = 6G; D = 25R; D = 120T; G = 4R; G = 21T; R = 5T.
Утром у игрока имелось 32 динара.
Какое максимальное число
а) динаров;
б) талеров
он может получить к вечеру?



3.

Центр окружности, проходящей через середины всех сторон треугольника АВС, лежит на биссектрисе его угла С.
Найдите сторону АВ, если ВС = а, АС = b(a не равно b).



4.

Решите уравнение



5.

Известно, что существует прямая, делящая периметр и площадь некоторого описанного около окружности многоугольника в одном и том же отношении.
Докажите, что эта прямая проходит через центр указанной окружности.

6.

Пусть a3 a – 1 = 0.
Найдите точное значение выражения



7.

Пусть прямая, перпендикулярная стороне AD параллелограмма ABCD, проходящая через точку В, пересекает прямую CD в точке M, а прямая, проходящая через точку В и перпендикулярная стороне CD, пересекает прямую AD в точке N.
Докажите, что прямая, проходящая через точку В перпендикулярно диагонали АС, проходит через середину отрезка MN.



8.

Имеется 100 положительных чисел a1, a2, …, a100 таких, что

Докажите, что a1 Чa2 ЧЧ a100 і (99)100.



9.

Докажите, что для любого l > 3 найдется число х, для которого
sin x + sin lx і 1,8



10.

Возьмем на стороне ВС треугольника АВС произвольную точку D и проведем окружность через точку D и центры окружностей, вписанных в треугольники ABD и АCD.
Докажите, что все окружности, полученные для различных точек D стороны ВС, имеют общую точку